解と係数の関係：

α+β=−ba, αβ=ca\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}α+β=−ab​,αβ=ac​

の証明を2通り解説します。

二次方程式の解の公式を使って解と係数の関係を証明します。

二次方程式の解の公式より，

α=−b+b2−4ac2a, β=−b−b2−4ac2a\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\:\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}α=2a−b+b2−4ac​​,β=2a−b−b2−4ac​​

とおけるので，

α+β=−b−b2a=−ba\alpha+\beta=\dfrac{-b-b}{2a}=-\dfrac{b}{a}α+β=2a−b−b​=−ab​

αβ=b2−(b2−4ac)4a2=ca\alpha\beta=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}αβ=4a2b2−(b2−4ac)​=ac​

解の公式で得られる解は汚いのに，和や積はきれいというのがおもしろいです。

解と係数の関係の証明は，因数定理を使うことでもできます。

二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 が x=α, βx=\alpha,\:\betax=α,β を解に持つとき，因数定理より，定数 AAA を用いて

ax2+bx+c=A(x−α)(x−β)ax^2+bx+c\\ =A(x-\alpha)(x-\beta)ax2+bx+c=A(x−α)(x−β)

とかける。

これを展開して係数を比較すると，

a=A, b=−A(α+β), c=Aαβa=A,\:b=-A(\alpha+\beta),\:c=A\alpha\betaa=A,b=−A(α+β),c=Aαβ

よって，二つ目と三つ目の式から，解と係数の関係

α+β=−ba, αβ=ca\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}α+β=−ab​,αβ=ac​

を得る。

二次方程式の解と係数の関係を，2つの方法で証明しました。

実は，解と係数の関係は，3次以上の高次方程式の場合にも拡張できる美しい公式です。→三次，四次，ｎ次方程式の解と係数の関係とその証明

そして，1つめの証明方法では（二次方程式の場合には分かりやすいですが）三次方程式に拡張するのはかなり厳しいです。というのも，三次方程式には解の公式→カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】がありますが，非常に複雑だからです。

そして五次以上の方程式では，解の公式は存在しませんが解と係数の関係は存在します。つまり，1つめの方法では，一般の高次方程式の場合の解と係数の関係は証明できません。

一方，2つ目の方法なら一般の高次方程式に拡張できます。そのため2つ目の証明方法をぜひ覚えておきましょう。